V minulé podkapitole jsem ti zmiňoval Newtonův-Leibnizův určitý integrál, který byl více abstraktního pojetí. Naproti tomu Bernhard Reimann už měl jasné geometrické vyjádření určitého integrálu. Už to konkretizoval na hledání obsahu S pod obecnou křivkou funkce na intervalu \langle a ; b\rangle, jak ukazuje obrázek níže.

Postup pro nalezení obsahu S není jednoduchý. Reimanna ale napadl způsob, kterým by šel vypočítat obsah mnohem snadněji, a to rozdělením obrazce na obdélníky. Obsah vytvořených obdélníků už se dá vypočítat mnohem snadněji.

Možná tě napadlo, že součet S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4} nemůže být stejný jako hledaný obsah S. To se nemýlíš, ale následující obrázek pracuje s myšlenkou, že těch obdélníčků budeš vytvářet čím dál víc a čím víc jich samozřejmě bude, tím přesnější bude i výpočet.

Pokud tedy dokážeš udělat těch obdélníčků nekonečně mnoho, tak získáš přesný výsledek a tím bude obsah S. Což ti pak v praxi neulehčí zrovna moc práce.

Díky tomu vznikla nová myšlenka, která obsah určí mnohem lépe a efektivněji. Jedná se o to, že obsah plochy pod grafem funkce se rovná určitému integrálu, což už znáš z minulé podkapitoly.

Pokud tedy potřebuješ vypočítat obsah obrazce, tak ho vypočítáš pomocí určitého integrálu:

S=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x

Je třeba ovšem dát pozor, aby daná křivka nekřížila osu x. Pokud se to stane, je třeba pro výpočet plochy ohraničené křivkou funkce a osou x takový integrál rozdělit na více částí, jako na obrázku níže. Tím pádem budeš počítat více určitých integrálů. V tomto případě jsou tři intervaly, které zapíšeš pomocí tři určitých integrálů, každý bude mít jiné meze. Vždy, když je funkce pod osou x, tak je na tomto intervalu minus před určitým integrálem. Pomocí určitých integrálů to zapíšeš následovně:

Druhá varianta, jak vypočítat obsah plochy pod křivkou funkce, je dát místo minusu před integrálem určitý integrál na daném intervalu do absolutní hodnoty, díky čemuž vyjde kladná hodnota a část obsahu plochy se bude přičítat.

S=\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\left|\int_{c}^{d} f(x) \mathrm{d} x\right|+\int_{d}^{b} f(x) \mathrm{d} x

Pěkně zlehka Reimannovým integrálem...