Tak nejdřív metoda per partes!
První ze zkoumaných metod je metoda per partes neboli česky „po částech“. Během počítání narazíš například na integraci tohoto výrazu:
\int\left(x \cdot e^{x}\right) \mathrm{d} x
Metodou per partes najdeš primitivní funkci k součinu dvou funkcí. Obě funkce můžeš integrovat zvlášť, jenže podobně jako derivace součinu dvou funkcí není rovna součinu derivací daných funkcí, tak ani primitivní funkce součinu dvou funkcí není rovna součinu dvou primitivních funkcí. Tedy:
\int\left(x \cdot e^{x}\right) \mathrm{d} x \neq \frac{x^{2}}{2} \cdot e^{x}+C
Na řešení takovýchto integrálů se využije právě metoda per partes. Tato metoda se používá u integrování některých součinů. Většinou takových, kde jedna z funkcí je mocninná (zde označena u) a jejím derivováním vznikne funkce konstantní, v ideálním případě jedna. Per partes tedy vychází z pravidla pro derivaci součinu.
(u \cdot v)^{\prime}=u^{\prime} \cdot v+u \cdot v^{\prime}
Nyní každý člen výrazu zintegruješ.
\int(u \cdot v)^{\prime} \mathrm{d} x=\int\left(u^{\prime} \cdot v\right) \mathrm{d} x+\int\left(u \cdot v^{\prime}\right) \mathrm{d} x
Levou stranu upravíš, protože pokud zderivuješ nějakou funkci a následně ji zpět zintegruješ, dostaneš původní funkci, takže se na levé straně derivace a integrál „pokrátí”.
u \cdot v=\int\left(u^{\prime} \cdot v\right) \mathrm{d} x+\int\left(u \cdot v^{\prime}\right) \mathrm{d} x
Dále osamostatníš integrál, ve kterém derivuješ funkci v. Tím ti vznikne vzorec pro výpočet neurčitého integrálu pomocí per partes.
\int\left(u \cdot v^{\prime}\right) \mathrm{d} x=u \cdot v-\int\left(u^{\prime} \cdot v\right) \mathrm{d} x
Pro určení toho, co budeš integrovat a derivovat, se používají závorky stejné jako pro absolutní hodnotu. Slouží pouze k přehlednosti a rozebrání jednotlivých funkcí. Určíš integrace a derivace funkcí, aby se dalo dosadit do vzorečku per partes. První kroky u metody per partes budou vypadat například takto:
\int(x \cdot \sin x) \mathrm{d} x=\begin{vmatrix}u=x & u^{\prime}=1 \\v^{\prime}=\sin x & v=-\cos x\end{vmatrix}
Nejlepší bude, pokud ti vše ukážu na několika příkladech.