Primitivní funkce k f(x)=x·cos(2x)
Urči primitivní funkci k funkci f(x)=x \cdot \cos 2 x.
=\frac{x \cdot \cos 2 x}{2}-\frac{1}{2} \int \sin 2 x d x=
=\frac{x \cdot \cos 2 x}{2}-\frac{1}{2} \cdot\left(-\frac{\cos 2 x}{2}\right)+C=
=\frac{x \cdot \cos 2 x}{2}+\frac{\cos 2 x}{2}+C
=\frac{x \cdot \sin 2 x}{2}-\frac{1}{2} \int \sin 2 x d x=
=\frac{x \cdot \sin 2 x}{2}-\frac{1}{2} \cdot\left(-\frac{\cos 2 x}{2}\right)+C=
=\frac{x \cdot \sin 2 x}{2}+\frac{\cos 2 x}{2}+C
=\frac{x \cdot \sin 2 x}{2}-\frac{1}{2} \int \cos 2 x d x=
=\frac{x \cdot \sin 2 x}{2}-\frac{1}{2} \cdot\left(-\frac{\sin 2 x}{2}\right)+C=
=\frac{x \cdot \sin 2 x}{2}+\frac{\sin 2 x}{2}+C
=\frac{x \cdot \sin 2 x}{2}-\frac{1}{2} \int \sin 2 x d x=
=\frac{x \cdot \sin 2 x}{2}-\frac{1}{2} \cdot\left(-\frac{\cos 2 x}{3}\right)+C=
=\frac{x \cdot \sin 2 x}{2}+\frac{\cos 2 x}{3}+C
K určení této primitivní funkce budeš muset použít nejdříve metodu per partes a poté metodu substituce. Při použití metody per partes, jednu funkci označíš t a druhou v. Abys mohl zintegrovat v^{\prime}, tak musíš použit substituci poprvé. Ve v^{\prime} je totiž funkce složená. V argumentu kosinu jsou 2 x. Poté dopočítáš per partes, ale v integrálu ti opět vznikne výraz, který nelze přepsat přímo na primitivní funkci ani nelze použít metodu per partes. Musíš tedy použít substituci ještě jednou. Integrál vypočítáš a výsledek dosadíš do integrálu, který ti vznikl při užití per partes.