Integrace funkce ln(x) * x
Zintegruj funkci f(x)=\ln x \cdot x metodou per partes.
=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} \mathrm{~d} x=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \int x \mathrm{~d} x=
=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} \mathrm{~d} x+C=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{x^{2}}{4}+C
=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} \mathrm{~d} x=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \int x^{2} \mathrm{~d} x=
=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3}}{3} \mathrm{~d} x+C=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{x^{3}}{6}+C
=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} \mathrm{~d} x=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \int x \mathrm{~d} x=
=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2} \mathrm{~d} x+C=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{x}{4}+C
=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} \mathrm{~d} x=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \int x \mathrm{~d} x=
=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{3} \mathrm{~d} x+C=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{x^{2}}{6}+C
Jelikož se jedná o součin dvou elementárních funkcí, můžeš použít metodu per partes. Nejprve si první funkci, tedy In x, označíš jako u. Následně provedeš jej derivaci u^{\prime}. Druhou funkci, tedy x, si označíš jako v^{\prime} a provedeš její integraci, kde ti zase vyjde v. Následně vše dosadíš do vzorce pro výpočet integrálu pomocí metody per partes.
🍪 Nastav si svůj neviditelný plášť ⚡
Vítej v kouzelném světě cookies! 🧙♂️ Používáme je, abychom ti přinesli ten nejlepší zážitek a pochopili, jak s naší aplikací kouzliš. Neboj, tyto sušenky nejsou z Bertíkových fazolek 1000x jinak - jsou tu, aby vše kouzelně fungovalo a my mohli naši aplikaci neustále vylepšovat. Tvé preference jsou pro nás jako kouzelná hůlka - můžeš je kdykoli poté změnit. Stačí kliknout na odkaz v patičce s názvem “Upravit cookies 🍪” a vykouzlit si nastavení přesně podle svých představ. Pokud chceš vědět více informací o zpracování cookies, najdeš je na této stránce.