Integrace funkce ln(x) * x
Zintegruj funkci f(x)=\ln x \cdot x metodou per partes.
=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} \mathrm{~d} x=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \int x \mathrm{~d} x=
=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{3} \mathrm{~d} x+C=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{x^{2}}{6}+C
=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} \mathrm{~d} x=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \int x \mathrm{~d} x=
=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2}}{2} \mathrm{~d} x+C=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{x^{2}}{4}+C
=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} \mathrm{~d} x=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \int x \mathrm{~d} x=
=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2} \mathrm{~d} x+C=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{x}{4}+C
=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x} \mathrm{~d} x=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \int x^{2} \mathrm{~d} x=
=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3}}{3} \mathrm{~d} x+C=\frac{x^{2}}{2} \cdot \ln x-\frac{x^{3}}{6}+C
Jelikož se jedná o součin dvou elementárních funkcí, můžeš použít metodu per partes. Nejprve si první funkci, tedy In x, označíš jako u. Následně provedeš jej derivaci u^{\prime}. Druhou funkci, tedy x, si označíš jako v^{\prime} a provedeš její integraci, kde ti zase vyjde v. Následně vše dosadíš do vzorce pro výpočet integrálu pomocí metody per partes.