Jedna z důležitých vět o derivacích
Jedná se o větu, která vystihuje vztah mezi derivací a spojitostí funkce v daném bodě. Tato věta zní:
„Má-li funkce f v bodě a derivaci, pak je v tomto bodě spojitá”.
Pozor na to, že obrácení této věty neplatí. To, že je funkce v bodě spojitá neznamená, že má pokaždé i derivaci. Tato situace může nastat vzhledem ke geometrickému významu derivace právě ve dvou případech:
a. Jestliže graf funkce f nemá v bodě a tečnu, tak v tomto bodě nemá ani derivaci.
Toto se může objevit například u derivace funkce absolutní hodnota z \times v bodě a=0.
b. Jestliže graf funkce f má v bodě a tečnu rovnoběžnou s osou \boldsymbol{y}, tak v tomto bodě nemá derivaci.
Druhý případ může nastat například u funkce f: y=\sqrt[3]{x-1} v bodě a=1, která je na obrázku níže. Je to kvůli tomu, že tečna rovnoběžná s osou y nemá směrnici.
Na začátku jsem ti řekl, že tangens úhlu je směrnice tečny, takže derivaci vypočítáš jako podíl změny hodnoty na ose y a změny hodnoty na ose x. A teď to všechno ještě dát dohromady.
První derivace funkce f v bodě a se značí jako f^{\prime}(a). Pokud by bylo za úkol zjistit druhou derivaci (což je derivace z první derivace), tak by se to značilo jako f^{\prime \prime}(a). Třetí derivace (což je derivace z druhé derivace) by se značila jako f^{\prime \prime \prime}(a). V případě, že by se měla provést derivace vyšších řádů, tak by se vše zapsalo pomocí čísel v závorkách například u čtvrté derivace by to bylo f^{(4)}(a).