Na úvod k limitám a okolí bodu
Okolí bodu je velmi důležitým nástrojem pro určení spojitosti funkce, ale také limity funkce v daném bodě. Doposud jsme mluvili o limitě pouze v souvislosti s posloupnostmi, ale teprve teď poznáš limitu v pravém významu, a to v souvislosti s funkcí.
Limity popisují chování funkcí v okolí určitého bodu, díky čemuž se pak definuje i spojitost. Je potřeba začít s jednotlivými typy limit, naučíš se tedy rozlišit následující čtyři, u kterých jsou rovnou ukázány příklady:
vlastní limita (tj. L \in \mathbb{R}) ve vlastním bodě (tj. a\in\mathbb{R}), např. \lim _{x \rightarrow 4}(3 x-2)=10,
nevlastní limita (tj. L= \pm \infty) ve vlastním bodě (tj. a \in \mathbb{R}), např. \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}}=\infty,
vlastní limita (tj. L\in\mathbb{R}) v nevlastním bodě (tj. a= \pm \infty), např. \lim _{x \rightarrow-\infty} 2^{x}=0,
nevlastní limita (tj. L= \pm \infty) v nevlastním bodě (tj. a= \pm \infty), např. \lim _{x \rightarrow \infty} x=\infty.
Tedy pokud nazveš limitu vlastní limitou, tak limita je reálné číslo. Naopak nevlastní limita nabývá pouze dvou různých hodnot, a to \infty, nebo -\infty.
Hned u zápisu limity funkce můžeš říct, jestli jde o limitu ve vlastním bodě (tj. reálné číslo), nebo v nevlastním bodě (tj. \infty nebo - \infty). Daný bod dosazuješ do předpisu funkce. Podle toho, co ti vyjde, zjistíš, jestli se jedná o vlastní, nebo nevlastní limitu.