Limitně se blížíme ke konci
Členy posloupnosti částečných součtů s_{n} jsou součty prvních n členů posloupnosti a_{n}. Posloupnost částečných součtů s_{n} pro posloupnost a_{n} se získá jako: s_{1}=a_{1}, s_{2}=a_{1}+a_{2}, s_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}, \ldots, s_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}.
Součtu všech členů posloupnosti a_{n} se říká nekonečná řada. Ta se značí symbolem \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}. Jde o součet všech členů nekonečné posloupnosti a_{n}: a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}+\ldots. Jde o součet všech členů nekonečné posloupnosti a_{n}: a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}+\ldots.
Vzorec pro n-tý člen posloupnosti částečných součtů \textcolor{#00FFFF}{\mathrm{s}_{n}} geometrické řady závisí na hodnotě kvocientu q. Jestliže:
q \neq 1, tak pro součet prvních členů geometrické posloupnosti s_{n} platí s_{n}=\frac{q^{n}-1}{q-1} \cdot a_{1},
q=1, pak pro součet prvních členů geometrické posloupnosti s_{n} platí s_{n}=a_{1} \cdot n.
Pokud je geometrická posloupnost a_{n} divergentní, pak také posloupnost částečných součtů s_{n} je divergentní neboli nekonečná řada je divergentní a nemá součet.
Jestliže je geometrická posloupnost a_{n} konvergentní, záleží konvergence posloupnosti částečných součtů s_{n} na hodnotě kvocientu q.
Je-li hodnota kvocientu geometrické posloupnosti \textcolor{#00FFFF}{q=1}, je tato geometrická posloupnost a_{n} konvergentní. Bude-li a_{1} různé od 0 , pak posloupnost částečných součtů takovéto geometrické posloupnosti bude mít limitu nevlastní, tedy +\infty či -\infty, jedná se o posloupnost divergentní. Nekonečná řada je tedy divergentní a nemá součet.
Je-li hodnota kvocientu geometrické posloupnosti \textcolor{#00FFFF}{-1<q<1}, je tato geometrická posloupnost a_{n} konvergentní. Bude-li a_{1} různé od 0 , pak posloupnost částečných součtů bude konvergentní, bude mít vlastní limitu. Nekonečná řada je také konvergentní, limita posloupnosti se nazývá součet nekonečné řady.
Pro součet konvergentní nekonečné geometrické řady platí s=\frac{a_{1}}{1-q}.