Tak jdem na to...
Posloupnost částečných součtů ti ukážu na jednoduchém příkladu. Máš posloupnost a_{n} a z ní vytvoříš druhou posloupnost s_{n}. Jejich první členy se rovnají (tj. s_{1}=a_{1} ). Druhý člen s_{2} se rovná součtu prvních dvou členů posloupnosti a_{n} (tj. s_{2}=a_{1}+a_{2}). Třetí člen s_{3} je roven součtu a_{1}+a_{2}+a_{3}. To znamená, že n-tý člen je s_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}. Součtu všech členů nekonečné posloupnosti a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}+\ldots říkáme nekonečná řada a značíme ji:
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}
Řada je tedy součtem všech členů posloupnosti a_{n}, tedy a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}+\ldots. Pokud je posloupnost a_{n} geometrická, dostaneš nekonečnou geometrickou řadu.
Jak už název napovídá, nekonečná geometrická řada souvisí s geometrickými posloupnostmi. Její definice zní: Posloupnost se nazývá geometrická, právě když existuje takové reálné číslo q, že pro každé přirozené číslo n platí a_{n+1}=a_{n} \cdot q. Zadání pomocí přímého vzorce pro n-tý člen je a_{n}=a_{1} \cdot(q)^{n-1}. Co je to geometrická posloupnost, už tedy víš. Ale co je geometrická řada?
Máš geometrickou posloupnost a_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}. První člen a_{1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{1}, tedy \frac{1}{2}, druhý člen a_{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}, tedy \frac{1}{4}, a tak dále.
Vypíšeš si prvních několik členů posloupnosti částečných součtů s_{n}. První člen s_{1}=a_{1}\left(\right. tedy \left.s_{1}=\frac{1}{2}\right), druhý člen s_{2} je roven součtu a_1+a_2 (tedy s_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}) a třetí člen s_{3} je roven součtu a_{1}+a_{2}+a_{3}. Obecně s_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}.
Každý člen posloupnosti částečných součtů je součtem prvních n členů geometrické posloupnosti. V kapitole o geometrických posloupnostech máš uvedený vzorec pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti: Jestliže kvocient q \neq 1, pak pro součet prvních členů geometrické posloupnosti s_{n} platí:
Jestliže q=1, pak pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti s_{n} platí:
s_{n}=a_{1} \cdot n
Tyto vzorce jsou vlastně vzorcem pro n-tý člen posloupnosti částečných součtů.