Co je to limita posloupnosti?
Pojem limita se nejlépe naučíš na přikladu. Máš zadanou posloupnost a_{n}=\frac{n}{n+1}, napiš prvních 6 členů posloupnosti a vynes je do grafu.
a_{n}=\frac{n}{n+1}
a_1=\frac{1}{2} a_2=\frac{2}{3} a_3=\frac{3}{4}
a_4=\frac{4}{5} a_5=\frac{5}{6} a_6=\frac{6}{7}
Dosazením prvních šesti přirozených čísel za n do předpisu posloupnosti získáš prvních šest jejích členů.
Opět na osu x patří pořadí členů, na osu y potom jejich hodnoty. Vidíš, že členy posloupnosti se přibližují číslu 1 (přerušovaná čára). Limita posloupnosti je číslo, ke kterému se blíží hodnoty členů zadané posloupnosti.
Aby se ověřilo, že se hodnoty k nějakému číslu skutečně přibližují, stanovíš si kolem čísla, o kterém si myslíš, že by mohlo být limitou, hranice o stejné vzdálenosti. Na obrázku jsou zeleně naznačeny hranice ve vzdálenosti jedné čtvrtiny od 1 (tj. v 0,75 a 1,25). Vidíš, že třetí člen leží přímo „na hranici” všechny další členy posloupnosti už leží uvnitř zeleně vyznačených hranic.
Když přiblížíš zelené hranice libovolně (jakkoliv) blízko odhadované limitě, najdeš uvnitř od určitého členu posloupnosti všechny další.
Aby se dalo říct, že posloupnost má limitu, musí existovat číslo n_{0} takové, že od něj dál už všechny další členy posloupnosti budou ležet uvnitř vymezených hranic v okolí limity. Aby se dalo říct, že posloupnost má limitu, musí toto platit pro hranice, které jsou libovolně blízko k limitě.