Součet prvních n čísel
Ověř, že platí vztah \frac{n}{2}(n+1)=\sum_{k=1}^{n} k.
V(0) platí.
\mathrm{V}(m) \Rightarrow \mathrm{V}(m+1) platí.
\vee(n) tedy platí pro všechna n.
V(0) platí.
\mathrm{V}(m) \Rightarrow \mathrm{V}(m+1) platí.
\mathrm{V}(n) tedy platí pro všechna n.
V(1) platí.
\mathrm{V}(m) \Rightarrow \mathrm{V}(m+1) platí.
\vee(n) tedy platí pro všechna n.
V(1) platí.
\mathrm{V}(m) \Rightarrow \mathrm{V}(m+1) platí.
\mathrm{V}(n) tedy platí pro všechna n.
V(1) neplatí.
\mathrm{V}(m) \Rightarrow \mathrm{V}(m+1) neplatí.
\vee(n) tedy neplatí pro všechna n.
V(1) neplatí.
\mathrm{V}(m) \Rightarrow \mathrm{V}(m+1) neplatí.
\mathrm{V}(n) tedy neplatí pro všechna n.
V(1) platí.
\mathrm{V}(m) \Rightarrow \mathrm{V}(m+2) platí.
\vee(n) tedy platí pro všechna n.
V(1) platí.
\mathrm{V}(m) \Rightarrow \mathrm{V}(m+2) platí.
\mathrm{V}(n) tedy platí pro všechna n.
Důkaz se provádí ve dvou krocích. V prvním kroku ověříš platnost vztahu pro nejmenší možné n, obvykle je to n=1 (v případě přirozených čísel). Toto by se teoreticky dalo udělat pro libovolně vysoké konečné číslo, což ale stále nevede k jistotě, že vztah platí pro jakékoliv n. Proto v druhém kroku dokážeš, že pokud vztah platí pro nějaké přirozené číslo m, platí i pro nějaké přirozené číslo m+1.