Jak určit smíšeným součinem objem hranolu?
Smíšený součin můžeš použít k výpočtu objemu rovnoběžnostěnu:
Ze stereometrie možná víš, že objem rovnoběžnostěnu (kosého hranolu) jde spočítat pomocí formule:
V=S_{p} \cdot v \rightarrow V=|(\vec{u} \times \vec{v})| \cdot v
Nyní musíš určit výšku v pomocí vektoru \vec{t}.
\cos \alpha=\frac{v}{|\vec{t}|} \rightarrow v=\cos \alpha \cdot|\vec{t}|
Z goniometrie už znáš výpočet pro úhel a. Díky němu můžeš spočítat výšku v, což je vzdálenost mezi podstavami. Když to, co ti vyšlo, dosadíš za v, vznikne pak vzorec:
v=|\vec{u} \times \vec{v}| \cdot|\vec{t}| \cdot \cos \alpha
|\vec{u} \times \vec{v}| \cdot|\vec{t}| \cdot \cos \alpha=(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{t}
Nově vzniklý vztah je pro výpočet skalárního součinu vektorů |\vec{u} \times \vec{v}| a |\vec{t}|. Objem tedy můžeš vypočítat pouze pomocí vektorů \vec{u}, \vec{v} a \vec{t} podle vztahu:
V=|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{t}|
Tento vzorec přesně odpovídá smíšenému součinu vektorů \vec{u}, \vec{v} a \vec{t}. Pokud budeš mít příště zadán rovnoběžnostěn pomocí vektorů, spočítej jejich smíšený součin a máš výsledek.