Jaké vlastnosti má vektorový součin?
Vektor \vec{w} vzniklý vektorovým součinem vektorů \vec{u} a \vec{v} má tyto vlastnosti:
vektor \vec{w} je kolmý k vektorům \vec{u} a \vec{v},
vektory \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} tvoří pravotočivou bázi,
velikost vektoru \vec{w} spočítáš podle vzorce |\vec{w}|=|\vec{u}| \cdot|\vec{v}| \cdot \sin a, kde a je úhel mezi vektory \vec{u} a \vec{v}.
Třetí vlastnost se ti bude hodit ke spočítání obsahu rovnoběžníku. Jedná se o stejný vzorec, který se použivá k výpočtu v planimetrii.
Délka stran svírajících úhel a odpovídá podle obrázku délce vektorů \vec{u} a \vec{v}. Díky tomu se vzorec z bodu tři výše dá použít k výpočtu obsahu rovnoběžníku. Má to tu výhodu, že stačí ze souřadnic zadaných vrcholů útvaru spočítat orientované úsečky odpovídající vektorům na obrázku.
|\vec{w}|=|\vec{u}| \cdot|\vec{v}| \cdot \sin \alpha
Vzorec obsahující sinus úhlu mezi vektory je ale často nepraktický právě kvůli tomu úhlu. Navíc díky tomuto vzorci získáš jenom velikost, ne směr nebo souřadnice vektorového součinu. Proto se hodí umět vypočítat vektorový součin po souřadnicích. K tomu právě slouží níže uvedený vzorec, kde symbol „ד zastupuje operaci vektorového součinu.
\vec{u}=\left(u_{x} ; u_{y} ; u_{z}\right) a \vec{v}=\left(v_{x} ; v_{y} ; v_{z}\right)
\vec{w}=\vec{u} \times \vec{v}=\left(u_{y} v_{z}-u_{z} v_{y} ; u_{z} v_{x}-u_{x} v_{z} ; u_{x} v_{y}-u_{y} v_{x}\right)
Můžeš si ověřit, třeba výpočtem velikosti výsledného vektoru nebo obrázkem, že výsledek opravdu má vlastnosti vektorového součinu.