Každá cesta někde začíná a někde končí
Jedním z matematických problémů je popsat cestu z bodu A do bodu B. Taková cesta může probíhat po velkém množství cest, ale vždy musí začít v bodě A a skončit v bodě B. Představ si, že jsi na počátku své cesty v pohodlí svého domova, ale musíš se dostat k doktorovi, protože je ti špatně. Bud' to využiješ cestu pěšky a půjdeš po tečkované čáře vyobrazené na obrázku níže, anebo pojedeš autobusem, která ale vede delší, čárkovanou trasou.
At byla zvolena libovolná z cest, je jasné, že vždy začala u tebe doma a skončila u lékaře. Na obrázku níže můžeš vidět, že když je počátek v bodě O, Ize vytvořit nejpřímější cesty do bodů A, B, C, D, E pomocí šipek. Tyto šipky jsou tzv. orientované úsečky, tedy úsečky, které udávají vzdálenost mezi dvěma body a směr říkající, odkud kam se má jít.
Na pomocné mřížce vidíš, že pokud se šlo z bodu O do bodu A, ušly se tři jednotky směrem doprava a dvě jednotky směrem nahoru. Proto Ize cestu označit za pomoci dvojice čísel (3; 2). Vektor je tedy tato šipka zadaná dvojicí čísel. Aby bylo poznat, že se jedná o vektor, značí se šipkou „\longrightarrow” nad názvem vektoru a přesněji Ize napsat, že vektor jdoucí z bodu \mathrm{O} do bodu \mathrm{A} je \overrightarrow{\mathrm{OA}}=(3 ; 2). Konkrétně u tohoto vektoru \overrightarrow{\mathrm{OA}} je bod \mathrm{O} tzv. počáteční bod a bod A koncový bod.
Pokud vede cesta směrem vlevo, bude první souřadnice vektoru záporná, např. cesta z bodu O do bodu B je dána vektorem \overrightarrow{O B}=\vec{b}=(-2 ; 3), protože se šlo o dvě jednotky vlevo a o tři jednotky nahoru. Samozřejmě pokud se jde dolů, bude druhá souřadnice záporná.
Stejný vektor může vycházet z různých bodů a vést do různých bodů, záleží pouze na posunu, který se vykoná. Na obrázku níže vidíš dva vektory, které jsou stejné nezávisle na tom, zda jdou z bodu A do B, nebo z bodu C do D.
Je očividné, že \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D}=(3 ; 5), neboť obě cesty tě zavedou od svého počátečního bodu o tři jednotky vpravo a pět jednotek nahoru. Skutečně tedy nezáleží na tom, z jakého bodu vektor vychází, a proto Ize říci, že vektor Ize v rovině libovolně posunout, aniž by se změnil směr a jeho velikost.