Tajuplný vzorec!
Jedním ze základních goniometrických vzorců je vzorec \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1. Tento vzorec říká, že pokud se sečte druhá mocnina sinu x a druhá mocnina kosinu x, výsledek bude vždy jedna.
Proměnná x může být jakékoliv číslo z definičního oboru, tedy libovolné reálné číslo. Pokud si například dosadíš za x hodnotu 90^{\circ}, zjistíš, že sinus je 1 a kosinus 0 . Takže 1^{2}+0^{2}=1, vzorec tedy platí.
Tento vzorec jde vysvětlit pomocí jednotkové kružnice. Jak již víš, sinus úhlu čteš na ose y a kosinus čteš na ose x. Pokud si vyznačíš na jednotkové kružnici bod, který bude znázorňovat určitý úhel, můžeš si vytvořit pravoúhlý trojúhelník. Ten bude vypadat tak, že jeho přepona bude úsečka spojující tento bod s počátkem souřadnic (středem jednotkové kružnice). Jeho jedno rameno bude délky \sin\:x a druhé \cos\:x. Jelikož je to pravoúhlý trojúhelník, můžeš na něho použít Pythagorovu větu (tj. \left.c^{2}=a^{2}+b^{2}\right). Po dosazení věta vypadá 1=\sin ^{2} x+\cos ^{2} x, což je přesně ten vzorec, který je popsaný výše.
Velice často se při těchto typech příkladů používá substituce, při které se nahradí celý výraz jednou neznámou, a poté se vrací k substituci, do které se dosadí. Ale dost teorie a hurá na příklady.