Celé je to o kružnicích...
Na obrázku níže vidíš jednotkovou kružnici (jednotková se jí říká, protože má poloměr roven číslu 1). Ta ti pomůže určit velikost úhlů a také se jednodušeji orientovat v jejím převodu na radiány. Když rozdělíš kružnici na několik stejných dílů (jako když krájíš koláč), tak pro tyto stejné části platí, že úhel svíraný dělícími úsečkami se rovná nějakému zlomku hodnoty 2 \pi. A mohou to být šestiny, čtvrtiny nebo třeba poloviny.
Díky tomu, že už víš, jak spolu souvisí stupňová a oblouková míra, dokážeš určit jakýkoliv úhel v jakémkoliv typu míry.
Jednotkovou kružnici můžeš také použít pro zjištění hodnoty sinu nebo kosinu bez použití kalkulačky nebo své paměti. Svislá osa y reprezentuje hodnoty sinu x a vodorovná x hodnoty kosinu x.
Máš například úhel o velikosti 30^{\circ}. Nejprve jej zvýrazníš na jednotkové kružnici. Pak vedeš koncovým bodem ramena úhlu kolmici ke svislé ose. Tím vznikne pravoúhlý trojúhelník, jehož přeponou je právě ono rameno příslušného úhlu. Má délku 1, protože se jedná o poloměr jednotkové kružnice. Dále je v trojúhelníku úhel o velikosti 30^{\circ}.
A teď' přichází ta výhoda jednotkové kružnice. Jak víš, funkce sinus je definována jako „protilehlá ku přeponě“.
Pokud tedy za délku přepony dosadíš číslo 1, dostaneš vztah:
\sin x=\frac{\text { délka protilehlé odvěsny }}{1} \text { neboli „ } \sin x=\text { délka protilehlé odvěsny“ }
Modře máš zvýrazněnou část, která je rovna sinu 30^{\circ}. Úplně stejně by šlo zobrazit kterýkoliv jiný úhel a na svislé sinové ose by se získala hodnota jeho sinu.
Obdobně na jednotkové kružnici funguje kosinus x. Ukážu ti to opět na úhlu 30^{\circ}. Rozdíl oproti sinu je v tom, že z koncového bodu ramena úhlu vedeš kolmici k vodorovné ose. Opět dostáváš pravoúhlý trojúhelník, jehož jeden úhel je roven 30^{\circ} a přepona má délku 1.
Vzorec pro funkci kosinus je:
\cos x=\frac{\text { délka přilehlé odvěsny }}{\text { délka přepony }}
Po dosazení jedničky do jmenovatele vznikne:
\cos x=\frac{\text { délka přilehlé odvěsny }}{1}=\text { délka přilehlé odvěsny }
Takže modře je zvýrazněna hodnota funkce kosinus 30^{\circ}.
Funkce tangens se nachází na svislé ose, která je tečnou jednotkové kružnice v bodě, kde se vyznačuje nulový úhel.
Tentokrát musíš rameno vyznačovaného úhlu 30^{\circ} protáhnout, aby dosáhlo až k tangentové ose, čímž získáš pravoúhlý trojúhelník. Tentokrát je jedné rovna délka přilehlé odvěsny. Takže podle vzorce získáváš:
\operatorname{tg} x=\frac{\text { délka protilehlé odvěsny }}{\text { délka přilehlé odvěsny }}
Po dosazení jedničky máš:
\operatorname{tg} x=\frac{\text { délka protilehlé odvěsny }}{1}=\text { délka protilehlé odvěsny }
Modře je právě tato délka vyznačena.
Také je zde dobře vidět, že tangens x není definován v x rovno 90^{\circ}, 270^{\circ}, 450^{\circ}, 630^{\circ}, \ldots obecně vzato platí, že x \neq 90^{\circ}+k \cdot 180^{\circ}, k \in \mathbb{Z}, protože ramena těchto úhlů nikdy neprotnou tangentovou osu.
Podobně funguje i kotangens. Jeho osa je rovnoběžná s kosinovou a je tečnou jednotkové kružnice v bodě, kde je vyznačen úhel 90^{\circ} neboli \frac{\pi}{2}.
Opět rameno úhlu protáhneš až „za” kružnici, aby se dotklo kotangentové osy. Vznikne ti tak pravoúhlý trojúhelník, v němž přes střídavé úhly určíš úhel 30^{\circ}. Jeho protilehlá odvěsna je rovna 1, jelikož se jedná o poloměr jednotkové kružnice. Po dosazení do vzorce tedy získáš:
\operatorname{cotg} x=\frac{\text { délka přilehlé odvěsny }}{\text { délka protilehlé odvěsny }}=\frac{\text { délka přilehlé odvěsny }}{1}=\text { délka přilehlé odvěsny. }
Stejně jako do funkce tangens x nemůžeš dosazovat např. 90^{\circ}, kotangens není definován pro k-násobky 180^{\circ}, tedy x \neq k \cdot 180^{\circ}, k \in \mathbb{Z}.