Důkaz o sudosti čísel
Dokaž následující tvrzení nepřímým důkazem:
\( \large \forall n \in \mathbb{N} \) platí: je-li
\( n^2 \) sudé, pak je n sudé
Výsledek tedy je:
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) platí: \( 2n\ – 1 → (2n\ – 1)^{2} \) (tj. obměněná implikace) \( → (2n\ – 1)^{2} = 4n^{2}\ –\ 4n \)(sudé číslo).
Výsledek tedy je:
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) platí: \( 2n\ – 1 → (2n\ – 1)^{2} \) (tj. obměněná implikace) \( → (2n\ – 1)^{2} = 4n^{2}\ –\ 4n + 2 \)(sudé číslo).
Výsledek tedy je:
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) platí: \( 2n\ – 1 → (2n\ – 1)^{2} \) (tj. obměněná implikace) \( → (2n\ – 1)^{2} = 4n^{2}\ –\ 4n + 3 \)(liché číslo).
Výsledek tedy je:
\( ∀ n ∈ \mathbb{N} \) platí: \( 2n\ – 1 → (2n\ – 1)^{2} \) (tj. obměněná implikace) \( → (2n\ – 1)^{2} = 4n^{2}\ –\ 4n + 1 \)(liché číslo).
Zde se po tobě bude chtít vytvořit obměněnou implikaci původního výroku a tu poté dokázat. Po vytvoření obměněné implikace už budeš postupovat stejně jako u přímého důkazu. Máš za úkol dokázat, že pro všechna n, která jsou přirozenými čísly, platí, že je-li \( n^2 \) sudé, pak je n sudé, tedy dělitelné dvěma.
Tuto platnost máš dokázat nepřímo. Musíš vytvořit obměněnou implikaci. U původního výroku a ⇒ b prohodíš pozice jednoduchých výroků a, b a poté je ještě zneguješ. Z implikace a ⇒ b vytvoříš implikaci ¬b ⇒ ¬a.
Vytvoříš obměněnou implikaci. Implikace bude znít: Jestliže n není sudé, pak n2 není sudé. Platí to pro všechna přirozená čísla (1, 2, 3, …).
Když čísla nejsou sudá, automaticky jsou lichá.
Implikace zní: Jestliže je n liché pak je liché i \( n^2 \), kde \( n ∈ \mathbb{N} \).
Obecný zápis pro lichá čísla: \( n = 2k – 1 \)
Platí: \( n = 2k\ – 1 → n^{2} = (2k\ – 1)^{2} \)
🍪 Nastav si svůj neviditelný plášť ⚡
Vítej v kouzelném světě cookies! 🧙♂️ Používáme je, abychom ti přinesli ten nejlepší zážitek a pochopili, jak s naší aplikací kouzliš. Neboj, tyto sušenky nejsou z Bertíkových fazolek 1000x jinak - jsou tu, aby vše kouzelně fungovalo a my mohli naši aplikaci neustále vylepšovat. Tvé preference jsou pro nás jako kouzelná hůlka - můžeš je kdykoli poté změnit. Stačí kliknout na odkaz v patičce s názvem “Upravit cookies 🍪” a vykouzlit si nastavení přesně podle svých představ. Pokud chceš vědět více informací o zpracování cookies, najdeš je na této stránce.