Priamy dôkaz deliteľnosti výrazu
Dokáž nasledujúce tvrdenie priamym dôkazom:
\( \forall n \in \mathbb{N}: n^{4}+n^{2} \) je deliteľné 2
Pre párne \( n \), kde \( n=2 k:(2 k)^{4}+(2 k)^{2}=16 k^{4}+4 k^{2}=2\left(8 k^{4}+2 k^{2}\right) \) \( \rightarrow \) áno, výraz je deliteľný dvoma.
Pre nepárne \( n \), kde \( n=2 k+1:(2 k+1)^{4}+(2 k+1)^{2}= \)
\( \begin{array}{l} =(2 k+1)^{2} \cdot(2 k+1)^{2}+(2 k+1)^{2}= \\ =\left(4 k^{2}+4 k+1\right) \cdot\left(4 k^{2}+4 k+1\right)+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+16 k^{3}+4 k^{2}+16 k^{3}+16 k^{2}+4 k+4 k^{2}+4 k+1+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+32 k^{3}+28 k^{2}+12 k+2=2\left(8 k^{4}+16 k^{3}+14 k^{2}+6 k+1\right) \end{array} \)
\( \rightarrow \) áno, výraz je
Pre párne \( n \), kde \( n=2 k:(2 k)^{4}+(2 k)^{2}=16 k^{4}+4 k^{2}=3\left(8 k^{4}+2 k^{2}\right) \) \( \rightarrow \) áno, výraz je deliteľný troma.
Pre nepárne \( n \), kde \( n=2 k+1:(2 k+1)^{4}+(2 k+1)^{2}= \)
\( \begin{array}{l} =(2 k+1)^{2} \cdot(2 k+1)^{2}+(2 k+1)^{2}= \\ =\left(4 k^{2}+4 k+1\right) \cdot\left(4 k^{2}+4 k+1\right)+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+16 k^{3}+4 k^{2}+16 k^{3}+16 k^{2}+4 k+4 k^{2}+4 k+1+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+32 k^{3}+28 k^{2}+12 k+2=3\left(8 k^{4}+16 k^{3}+14 k^{2}+6 k+1\right) \end{array} \)
\( \rightarrow \) áno, výraz je
Pre párne \( n \), kde \( n=2 k:(2 k)^{4}+(2 k)^{2}=16 k^{4}+4 k^{2}=2\left(8 k^{4}+2 k^{2}\right) \) \( \rightarrow \) nie, výraz nie je deliteľný dvoma.
Pre nepárne \( n \), kde \( n=2 k+1:(2 k+1)^{4}+(2 k+1)^{2}= \)
\( \begin{array}{l} =(2 k+1)^{2} \cdot(2 k+1)^{2}+(2 k+1)^{2}= \\ =\left(4 k^{2}+4 k+1\right) \cdot\left(4 k^{2}+4 k+1\right)+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+16 k^{3}+4 k^{2}+16 k^{3}+16 k^{2}+4 k+4 k^{2}+4 k+1+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+32 k^{3}+28 k^{2}+12 k+2=2\left(8 k^{4}+16 k^{3}+14 k^{2}+6 k+1\right) \end{array} \)
\( \rightarrow \) nie, výraz
Pre párne \( n \), kde \( n=2 k:(2 k)^{4}+(2 k)^{2}=16 k^{4}+4 k^{2}=4\left(8 k^{4}+2 k^{2}\right) \) \( \rightarrow \) áno, výraz je deliteľný štyrmi.
Pre nepárne \( n \), kde \( n=2 k+1:(2 k+1)^{4}+(2 k+1)^{2}= \)
\( \begin{array}{l} =(2 k+1)^{2} \cdot(2 k+1)^{2}+(2 k+1)^{2}= \\ =\left(4 k^{2}+4 k+1\right) \cdot\left(4 k^{2}+4 k+1\right)+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+16 k^{3}+4 k^{2}+16 k^{3}+16 k^{2}+4 k+4 k^{2}+4 k+1+4 k^{2}+4 k+1= \\ =16 k^{4}+32 k^{3}+28 k^{2}+12 k+2=4\left(8 k^{4}+16 k^{3}+14 k^{2}+6 k+1\right) \end{array} \)
\( \rightarrow \) áno, výraz je
🍪 Nastav si svůj neviditelný plášť ⚡
Vítej v kouzelném světě cookies! 🧙♂️ Používáme je, abychom ti přinesli ten nejlepší zážitek a pochopili, jak s naší aplikací kouzliš. Neboj, tyto sušenky nejsou z Bertíkových fazolek 1000x jinak - jsou tu, aby vše kouzelně fungovalo a my mohli naši aplikaci neustále vylepšovat. Tvé preference jsou pro nás jako kouzelná hůlka - můžeš je kdykoli poté změnit. Stačí kliknout na odkaz v patičce s názvem “Upravit cookies 🍪” a vykouzlit si nastavení přesně podle svých představ. Pokud chceš vědět více informací o zpracování cookies, najdeš je na této stránce.