Určitě si vzpomínáš, že asymptota je přímka, ke které se graf funkce neustále a nekonečně přibližuje. V matematice se rozlišuji dva druhy asymptot. První druh se jmenuje asymptota bez směrnice.

Asymptota bez směrnice je přímka, která je kolmá na osu x. Její předpis je tedy x=a, k de a \in \mathbb{R}. Aby se jednalo - asymptotu bez směrnice, tak funkce nesmí být v daném bodě a definovaná, a aby přímka x=a mohla být asymptotou, tak musí mít funkce v bodě a alespoň jednu nevlastní jednostrannou limitu.

Funkce y=\frac{1}{x} není definována pro x=0. Limita funkce zleva v bodě 0 je minus nekonečno. Přímka x=0 tedy odpovídá definici pro asymptotu bez směrnice a asymptotou je. Na obrázku výše je vyznačena červeně, obvykle se asymptoty označují čárkovaně.

Druhým typem jsou asymptoty se směrnicí. Jsou to přímky, které Ize popsat směrnicovým tvarem y=a x+b, kde a a b jsou reálná čísla. Nejjednodušší asymptota se směrnicí je přímka y=x.

Na tomto obrázku je červeně vyznačená asymptota, která má nenulovou směrnici. Jedná se o přímku, která protíná osy a není kolmá na osu x ani osu y a graf funkce se k ní nekonečně blíží. Zeleně vyznačená asymptota je asymptotou bez směrnice, protože je rovnoběžná s osou y.

U zadaného předpisu funkce f(x) a směrnicového tvaru rovnice asymptoty ve tvaru y=a x+b platí:

\lim _{x \rightarrow \pm \infty}[f(x)-(a x+b)]=0

Ve vzorci jsou dvě limity. Jedna se blíží k plus nekonečnu a druhá k minus nekonečnu. Díky dané rovnosti můžeš odvodit vzorce, díky kterým určíš hodnoty pro a a b :

a=\lim _{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x}

b=\lim _{x \rightarrow \pm \infty}(f(x)-a x)

Znaménko „士” ti říká, ať vypočítáš obě limity nejprve blížící se k plus nekonečnu a potom k minus nekonečnu. Pokud ti v prvním vzorci vyjde nevlastní limita (tj. že vyjde plus nebo minus nekonečno), znamená to, že příslušná asymptota se směrnicí neexistuje. Aby mohla asymptota existovat, tak musí vyjít konkrétní reálné číslo.

Už zase ty asymptoty?